賛否両論が多発した確率問題「モンティ・ホール問題」って知ってる？？
こんにちは。最近なかなか寝付けない佐伯です。
勝負事とか何をするにしても確率って大事ですよね。
じゃんけんで勝つ確率とか、ポーカーで勝つ確率とか…
今日は世界各地で賛否両論が起きた「モンティ・ホール問題」という確率の話を紹介したいと思います。
「モンティ・ホール問題」詳しい解説を聞いても納得するのは時間がかかるかもしれませんが、一緒に考えてみてくださいね。
モンティ・ホール問題とは？
モンティ・ホール問題（モンティ・ホールもんだい、Monty Hall problem）は確率論の問題で、ベイズの定理における事後確率、あるいは主観確率の例題のひとつとなっている。モンティ・ホール (Monty Hall、本名 Monte Halperin) が司会者を務めるアメリカのゲームショー番組、「Let's make a deal」の中で行われたゲームに関する論争に由来する。
モンティ・ホール問題 - Wikipedia
アメリカの有名なテレビ番組で登場したゲームなのですが、そのゲームを見た視聴者が「マリリン・ボス・サバント」というコラムニストに質問をしたことがきっかけに「モンティホール問題」は有名になりました。
「モンティホール問題」を言及した「マリリン・ボス・サバント」の解答に、様々な人が反論する事態になりましたが、結果的に「マリリン・ボス・サバント」の理論が正しい結果となりました。
モンティホール問題をさっそくみてみましょう。
モンティ・ホール問題の内容
ルール
ルールとしては以下の通りです。
①A,B,Cの3つのドアがあり、その奥には当たりが1つ、ハズレが2つ用意されている。
②回答者は当たりだと思うドアを1つ選択する（この時点では当たりかハズレかわからない）。
③問題の出題者は正解のドアを把握しており、残された2つのうちハズレのドアを1つ開ける（2つともハズレの場合はランダム）。これは選んだドアが当たりハズレに関わらず必ず行われ、そのことは予め回答者も認識している。
④問題の出題者は「今なら選択を変更して構いませんよ？」と回答者に問いかける。
④の質問をされたとき、あなたは選択を変更するか否か？
という問題です。
ちなみに、④の質問の時に選択を変更しなかったあなた。
あなたは当たりの確率が低いドアを選んでしまいました。
え、でもルール④の時点ではドアは２つしかないから当たる確率は1/2じゃないの？
って思ったあなた。そんなことはないのです。
なぜ1/2にならないのか、いまからその解説を行いたいと思います。
モンティ・ホール問題の解説
モンティ・ホール問題の解説を簡単にしたいと思います。
先ほどのルール①を選んだ時点では、当たる確率は1/3です。
残りの２枚の中に当たりが含まれている確率は2/3です。
そして、ルール③でハズレのドアが開かれてしまい、再度扉を選んで良いということになります。
この時点で、先ほどの2/3の確率が一つのドアに集約されるわけです。
結果的に、２回目の扉を選択できる時に扉を変えることで当たる確率が増えるということに落ち着くわけです。
納得ができない人のために
理論的には上で紹介した通りなんですが、いかんせん納得ができません。自分もそうでした。
いやいや、この方法が間違っていて1/2の確率になるんじゃないんかい？ってしばらく思っていたり…
しかし、考え方を一つかえるだけで結構納得できたりするものです。
それを１つご紹介したいと思います。
考え方を変える
①回答者の前に3つのドアがあり、当たりが1枚、ハズレが2枚ある。
②回答者がドアを1つ選択し、ドアを1つと2つの2組に分ける。
③以下の2つから1つを選ぶ。
「プレイヤーは1つのドアを選ぶ。それを開ける。」
「プレイヤーは2つのドアを選ぶ。既にハズレを1つ除外したので、残りを開ける。」
どうでしょうか。この考え方だったら「最初から２つドアがある組」を②で選択するのではないでしょうか？
つまり、やっていることは同じでも提供される情報によって確率が変わると錯覚してしまうのです。
「モンティ・ホール問題」の核心となる部分は、ドアを再度選択しなおしても良いという部分にあります。この選択こそが、確率が1/2になると直感的に錯覚してしまう部分でもあるのです。
それでもまだ納得できない人のために
この「モンティ・ホール問題」は多くの賛否両論を招いた問題です。
そのため、様々な検証がされています。
ドアの数を増やしたり、ドアに印をつけたり、実際に問題を行い統計学を用いて実証してみたり…
ここでは、紹介はしませんが納得できない人や、気になる方は調べてみてくださいね。
基本的にwikipediaにのっていますので…
モンティ・ホール問題 - Wikipedia
最後に
自分はあんまり数学とかは得意ではないのですが、確率の話はやはり日常生活でも良くおこなったりするのでとても身近な数学ですね
しかも、単純なことなのにこのように議論が白熱するのはやはり数学といったところでしょうか…
やはり数学奥が深いです。恐るべし数学。
まだまだ、面白そうな問題・議論ががあったときに取り上げてみたいと思います。
おしまい。
